📐 Satz des Pythagoras

a²+b²=c² · Hypotenuse · Katheten · Pythagoräische Tripel

❓ Was ist der Satz des Pythagoras?

Bei einem rechtwinkligen Dreieck gilt: Das Quadrat der langen Seite (Hypotenuse) ist gleich der Summe der Quadrate der beiden kurzen Seiten (Katheten).

a² + b² = c²

Name	Lage	Merkmal
c – Hypotenuse	dem 90°-Winkel gegenüber	Längste Seite!
a, b – Katheten	bilden den 90°-Winkel	Die zwei kürzeren

🗺️ Die drei Varianten

c gesucht

c = √(a² + b²)

a=3, b=4:
c=√(9+16)=√25=5

a gesucht

a = √(c² − b²)

c=5, b=4:
a=√(25−16)=√9=3

b gesucht

b = √(c² − a²)

c=13, a=5:
b=√(169−25)=√144=12

🔢 Wichtige Pythagoräische Tripel (auswendig lernen!)

a	b	c	Merkhilfe
3	4	5	Das Basis-Tripel
5	12	13	5-12-13
6	8	10	3-4-5 × 2
8	15	17	8-15-17
9	12	15	3-4-5 × 3

💡 Wenn du a und b erkennst → c ablesen ohne Rechnen! Das spart Zeit in der KA.

⚠️ Immer zuerst prüfen: Welche Seite ist c (Hypotenuse)? Das ist immer die, die dem 90°-Winkel gegenüberliegt und die längste ist!

✏️ Übungsaufgaben

🔶 Aufgabe 1 – Hypotenuse c berechnen

⭐ Leicht

Berechne die fehlende Seite c:

a) a=6, b=8 b) a=5, b=12 c) a=9, b=12 d) a=3, b=4

✅ Lösung:

a) c=√(36+64)=√100=10

b) c=√(25+144)=√169=13

c) c=√(81+144)=√225=15

d) c=√(9+16)=√25=5

🔶 Aufgabe 2 – Kathete berechnen

⭐ Leicht

Berechne die fehlende Kathete:

a) c=10, b=6 → a=? b) c=13, a=5 → b=? c) c=17, a=8 → b=?

✅ Lösung:

a) a=√(100−36)=√64=8

b) b=√(169−25)=√144=12

c) b=√(289−64)=√225=15

🔶 Aufgabe 3 – Kein ganzzahliges Ergebnis

⭐⭐ Mittel

Berechne und runde auf 2 Dezimalstellen:

a) a=5, b=7 → c=? b) c=10, a=4 → b=? c) a=3, b=3 → c=?

✅ Lösung:

a) c=√(25+49)=√74≈8,60

b) b=√(100−16)=√84≈9,17

c) c=√(9+9)=√18≈4,24

🔶 Aufgabe 4 – Sachaufgabe

⭐⭐ Mittel

Eine Leiter lehnt an einer Wand. Die Leiter ist 5m lang und steht 3m vom Fuß der Wand entfernt. Wie hoch reicht die Leiter an der Wand?

✅ Lösung:

c=5m (Leiter=Hypotenuse), b=3m (Bodenabstand), a=? (Höhe)
a=√(c²−b²)=√(25−9)=√16=4m
Die Leiter reicht 4m hoch an der Wand.

🔶 Aufgabe 5 – Rechtwinkliges Dreieck prüfen

⭐⭐⭐ Schwer

Überprüfe ob es ein rechtwinkliges Dreieck ist (Pythagoras-Probe):
a) 7, 24, 25 b) 5, 6, 8 c) 9, 40, 41

✅ Lösung:

a) 7²+24²=49+576=625=25² ✓ → rechtwinklig!

b) 5²+6²=25+36=61 ≠ 64=8² → nicht rechtwinklig

c) 9²+40²=81+1600=1681=41² ✓ → rechtwinklig!

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