Proportionalitätsfaktor · Dreisatz · Tabellen · Graphen
Eine Zuordnung verbindet zwei Größen miteinander (z.B. Kilometer und Liter Benzin). Es gibt zwei Typen: direkt proportional (mehr → mehr) und indirekt proportional (mehr → weniger).
Mehr x → mehr y
Test: y ÷ x = konstant
Formel: y = k · x (k = Faktor)
Mehr x → weniger y
Test: x · y = konstant
Formel: y = k ÷ x
Direkt: 2 Kg Äpfel kosten 3€. Vervollständige:
| kg (x) | 2 | 4 | 7 | 10 |
|---|---|---|---|---|
| € (y) | 3 | ? | ? | ? |
Indirekt: 6 Arbeiter brauchen 4 Tage. Wie lange brauchen 3 bzw. 8?
| Eigenschaft | Direkt proportional | Indirekt proportional |
|---|---|---|
| Formel | y = k·x | y = k÷x |
| Graph | Gerade durch Ursprung | Kurve (Hyperbel) |
| Geht durch (0|0)? | Ja immer! | Nein |
| Erkennungstest | y÷x = konstant | x·y = konstant |
Entscheide: direkt, indirekt oder weder noch?
a) Mehr Stunden arbeiten → mehr Lohn
b) Mehr Helfer → Arbeit dauert kürzer
c) Schuhgröße → Intelligenz
d) Mehr km gefahren → mehr Benzin verbraucht
e) Größere Geschwindigkeit → kürzere Fahrzeit
a) Direkt (k = Stundenlohn)
b) Indirekt
c) Weder noch (kein Zusammenhang)
d) Direkt
e) Indirekt
4 Bleistifte kosten 2,80€. Ergänze die Tabelle und gib k an.
| Stifte | 4 | 1 | 7 | 10 | 15 |
|---|---|---|---|---|---|
| € | 2,80 | ? | ? | ? | ? |
k = 2,80÷4 = 0,70 €/Stift
| Stifte | 4 | 1 | 7 | 10 | 15 |
|---|---|---|---|---|---|
| € | 2,80 | 0,70 | 4,90 | 7,00 | 10,50 |
12 Pumpen leeren ein Becken in 8 Stunden. Ergänze die Tabelle.
| Pumpen | 12 | 6 | 4 | 24 | 3 |
|---|---|---|---|---|---|
| Stunden | 8 | ? | ? | ? | ? |
k = 12·8 = 96
| Pumpen | 12 | 6 | 4 | 24 | 3 |
|---|---|---|---|---|---|
| Stunden | 8 | 16 | 24 | 4 | 32 |
Löse mit dem Dreisatz (direkt oder indirekt entscheiden!):
a) 5 Liter Benzin reichen für 65 km. Wie weit mit 8 Litern?
b) 4 Maler brauchen 9 Tage. Wie lange brauchen 6 Maler?
c) 350g Mehl reichen für 12 Kekse. Für 20 Kekse?
a) Direkt · k=65÷5=13 km/l · 8l: 13·8=104 km
b) Indirekt · k=4·9=36 · 6 Maler: 36÷6=6 Tage
c) Direkt · k=350÷12≈29,2 g/Keks · 20 Kekse: 29,2·20≈583g
Entscheide für jede Tabelle ob direkt, indirekt oder keines von beidem. Begründe mit dem Test!
| x | 2 | 4 | 6 | 8 |
|---|---|---|---|---|
| y (Tab A) | 8 | 16 | 24 | 32 |
| y (Tab B) | 24 | 12 | 8 | 6 |
| y (Tab C) | 5 | 9 | 13 | 17 |
Tab A: y÷x = 4 (konstant) → direkt proportional (k=4)
Tab B: x·y = 48 (konstant) → indirekt proportional (k=48)
Tab C: y÷x: 2,5 / 2,25 / 2,17 / 2,125 → nicht konstant. x·y: 10 / 36 / 78 / 136 → nicht konstant. → Weder noch! (Es ist y=2x+1, eine lin. Funktion mit n≠0)