y = mx + n verstehen · Alle Begriffe kennen · Funktionswerte berechnen
Eine Funktion ist eine Zuordnung, bei der jedem x-Wert genau ein y-Wert zugeordnet wird. Keine Ausnahmen, keine zwei Ergebnisse für denselben Eingabewert.
Eine lineare Funktion hat immer die Form:
Ihr Graph ist immer eine Gerade — daher "linear" (von lateinisch linea = Linie).
Lineare Funktionen beschreiben gleichmäßige Veränderungen im Alltag: Handytarife (Grundgebühr + Preis pro Minute), Benzinverbrauch, abbrennnende Kerzen, auffließende Badewannen.
In der KA macht dieser Block 80% der Note aus — es lohnt sich, ihn richtig zu verstehen!
| Begriff | Symbol | Bedeutung | Beispiel y = 2x − 4 |
|---|---|---|---|
| Anstieg | m | Steigung der Geraden | m = 2 |
| y-Achsenabschnitt | n | Schnittpunkt mit y-Achse | n = −4 → (0|−4) |
| Argument | x | Eingabewert | z.B. x = 3 |
| Funktionswert | f(x) = y | Ausgabewert | f(3) = 2·3−4 = 2 |
| Definitionsbereich D | D | Alle erlaubten x-Werte | Alle rationalen Zahlen |
| Wertebereich W | W | Alle entstehenden y-Werte | Alle rationalen Zahlen |
| Monoton steigend | m > 0 | Größeres x → größeres y | m = 2 > 0 ✓ |
| Monoton fallend | m < 0 | Größeres x → kleineres y | nur wenn m < 0 |
Wenn du z.B. f(4) ausrechnen sollst, setzt du x = 4 in die Gleichung ein.
Beispiel: f(x) = 3x − 1
Weitere Beispiele:
Wenn ja → Funktion. Wenn ein x-Wert zwei verschiedene y-Werte haben kann → KEINE Funktion.
| Zuordnung | Funktion? | Warum? |
|---|---|---|
| Schüler → Schule | ✓ Ja | Jeder Schüler ist in genau einer Schule |
| Person → Telefonnummer | ✗ Nein | Eine Person kann mehrere Nummern haben |
| Uhrzeit → Temperatur | ✓ Ja | Zu jeder Zeit gibt es genau eine Temperatur |
| Vorname → Nachname | ✗ Nein | Gleicher Vorname → verschiedene Nachnamen möglich |
| Zahl → Quadratzahl | ✓ Ja | 3² ist immer 9 — eindeutig |
Lies bei jeder Funktion den Anstieg m und den y-Achsenabschnitt n ab. Beschreibe die Monotonie.
a) y = 4x − 3 b) f(x) = −2x + 7 c) y = x d) f(x) = −0,5x − 1 e) y = 5
| Funktion | m | n | Monotonie |
|---|---|---|---|
| y = 4x − 3 | 4 | −3 | steigend |
| f(x) = −2x + 7 | −2 | 7 | fallend |
| y = x | 1 | 0 | steigend |
| f(x) = −0,5x − 1 | −0,5 | −1 | fallend |
| y = 5 | 0 | 5 | waagrecht (konstant) |
Berechne die Funktionswerte für f(x) = 2x + 3:
a) f(0) b) f(5) c) f(−2) d) f(0,5)
a) f(0) = 2·0+3 = 3 (das ist n!)
b) f(5) = 2·5+3 = 10+3 = 13
c) f(−2) = 2·(−2)+3 = −4+3 = −1
d) f(0,5) = 2·0,5+3 = 1+3 = 4
Entscheide: Ist die Funktion linear? Wenn ja, gib m und n an.
a) y = 5x − 2 b) f(x) = x² + 1 c) y = 3 d) f(x) = 1/x e) y = −4x
a) Linear ✓ · m=5, n=−2
b) NICHT linear ✗ · enthält x² → Parabel, keine Gerade
c) Linear ✓ · m=0, n=3 (waagrechte Gerade)
d) NICHT linear ✗ · 1/x ist eine Hyperbel
e) Linear ✓ · m=−4, n=0 (durch Ursprung)
Gegeben: f(x) = 3x − 6. Bestimme den fehlenden Wert.
a) P(2 | ?) b) P(? | 9) c) P(0 | ?) d) P(? | 0) — das ist die Nullstelle!
a) y = 3·2−6 = 0 → P(2|0)
b) 9 = 3x−6 → 3x=15 → x=5 → P(5|9)
c) y = 3·0−6 = −6 → P(0|−6) ← das ist der y-Achsenabschnitt!
d) 0 = 3x−6 → 3x=6 → x=2 → P(2|0) ← Nullstelle!
Eine lineare Funktion hat den Anstieg m = −3 und schneidet die y-Achse bei (0|6).
a) Stelle die Funktionsgleichung auf.
b) Berechne f(4) und f(−1).
c) Für welchen x-Wert gilt f(x) = −12?
d) Ist die Funktion monoton steigend oder fallend? Begründe.
a) m=−3, n=6 → f(x) = −3x + 6
b) f(4) = −3·4+6 = −12+6 = −6 f(−1) = −3·(−1)+6 = 3+6 = 9
c) −12 = −3x+6 | −6 → −18 = −3x | ÷(−3) → x = 6
d) Monoton fallend, weil m = −3 < 0.