Alltagssituationen mit linearen Funktionen beschreiben und berechnen
Jede Sachaufgabe hat zwei Zutaten:
Startwert → das ist n (wo fängt es an?)
Änderung pro Schritt → das ist m (wie viel mehr/weniger pro Einheit?)
Daraus wird: y = mx + n
⚠️ Achtung: Wenn etwas abnimmt (weniger wird), ist m negativ!
Kerze, Wasserstand, Benzintank, Akku — etwas startet mit einem Wert und wird Schritt für Schritt weniger.
📌 Vollständiges Beispiel durchrechnen:
Eine Kerze ist zu Beginn 20 cm hoch. Sie brennt 4 cm pro Stunde ab.
Fragen: a) Funktionsgleichung aufstellen b) Höhe nach 3 Stunden c) Wann ist sie abgebrannt?
Grundgebühr + Preis pro Einheit — klassisch bei Handyverträgen, Taxi, Eintrittspreisen.
📌 Vollständiges Beispiel:
Schwimmbad: Jahreskarte kostet 30€. Ohne Karte zahlt man 4€ pro Besuch.
Fragen: a) Gleichungen aufstellen b) Was kostet es bei 8 Besuchen? c) Ab wann lohnt die Jahreskarte?
Mia hat 12€ gespart. Sie legt jede Woche 5€ dazu.
a) Stelle die Funktionsgleichung auf. Was bedeuten x und y?
b) Wie viel hat Mia nach 6 Wochen?
c) Nach wie vielen Wochen hat sie 52€?
a) x = Wochen, y = Gespartes in € → y = 5x + 12
n = 12 (Startersparnis), m = 5 (pro Woche dazu)
b) y = 5 · 6 + 12 = 30 + 12 = 42€
c) 52 = 5x + 12 | −12 → 40 = 5x | ÷5 → x = 8 Wochen
Eine Badewanne enthält 180 Liter Wasser. Beim Ablassen fließen 15 Liter pro Minute ab.
a) Stelle die Funktionsgleichung auf.
b) Wie viel Wasser ist nach 8 Minuten noch drin?
c) Nach wie vielen Minuten ist die Wanne leer?
a) x = Minuten, y = Liter | y = −15x + 180
m = −15 (wird weniger!), n = 180
b) y = −15 · 8 + 180 = −120 + 180 = 60 Liter
c) 0 = −15x + 180 → 15x = 180 → x = 12 Minuten
Eine Kerze ist 24 cm hoch. Sie brennt 3 cm pro Stunde ab.
a) Funktionsgleichung aufstellen.
b) Wie hoch ist die Kerze nach 5 Stunden?
c) Wann ist sie vollständig abgebrannt?
d) Nach wie vielen Stunden ist sie noch genau 12 cm hoch?
a) y = −3x + 24
b) y = −3 · 5 + 24 = −15 + 24 = 9 cm
c) 0 = −3x + 24 → 3x = 24 → x = 8 Stunden
d) 12 = −3x + 24 → 3x = 12 → x = 4 Stunden
Verein A: 40€ Aufnahmegebühr + 8€ pro Monat.
Verein B: keine Aufnahmegebühr, aber 12€ pro Monat.
a) Stelle für beide Vereine eine Gleichung auf (x = Monate, y = Gesamtkosten).
b) Was kostet jeder Verein nach einem Jahr (12 Monate)?
c) Ab wie vielen Monaten ist Verein A günstiger?
a) Verein A: y = 8x + 40 Verein B: y = 12x
b) A: 8·12+40 = 96+40 = 136€ B: 12·12 = 144€
c) Gleichsetzen: 8x + 40 = 12x | −8x
40 = 4x | ÷4 → x = 10
→ Ab dem 11. Monat ist Verein A günstiger.
Zu Beginn der Woche hat Leon 20 Punkte auf seiner Lern-App. Pro gelerntem Tag bekommt er 6 Punkte dazu.
Sein Freund Ben startet mit 50 Punkten, lernt aber seltener und bekommt nur 2 Punkte pro Tag.
a) Stelle für beide eine Gleichung auf.
b) Wie viele Punkte hat jeder nach 7 Tagen?
c) Nach wie vielen Tagen hat Leon genauso viele Punkte wie Ben?
a) Leon: y = 6x + 20 Ben: y = 2x + 50
b) Leon: 6·7+20 = 62 Punkte Ben: 2·7+50 = 64 Punkte
c) 6x + 20 = 2x + 50 | −2x
4x + 20 = 50 | −20
4x = 30 | ÷4
x = 7,5 → Nach 7,5 Tagen (also zwischen Tag 7 und 8) hat Leon aufgeholt.