🎯 Funktionsgleichung bestimmen

Aus Graph · Aus zwei Punkten · Aus Punkt + Anstieg

❓ Was lernst du hier?

Oft kennst du Punkte oder einen Graphen — und musst daraus die Gleichung y = mx + n bestimmen. Es gibt drei verschiedene Situationen. Erkenne welche vorliegt, dann läuft es immer gleich ab!

🗺️ Die drei Wege im Überblick

📈

Weg 1

Aus dem Graphen ablesen

📌📌

Weg 2

Aus zwei Punkten

📌➡️

Weg 3

Aus Punkt + Anstieg

📈 Weg 1: Aus dem Graphen ablesen

n ablesen: Wo schneidet die Gerade die y-Achse? → Das ist n.

Zwei Punkte auf der Geraden wählen, die auf Gitterpunkten liegen

m berechnen: m = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁)

⚠️ Fällt die Gerade? → m ist negativ! Beim Ablesen nicht vergessen!

📌📌 Weg 2: Aus zwei Punkten

📌 Schema — immer gleich!

m berechnen: m = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁)

n berechnen: Einen Punkt in y = mx + n einsetzen, nach n umformen

Gleichung aufschreiben und mit dem zweiten Punkt prüfen!

Beispiel: Durch P₁(1|3) und P₂(3|7)

① m = (7−3)÷(3−1) = 4÷2 = 2
② y = 2x + n → 3 = 2·1 + n → n = 1
③ Gleichung: y = 2x + 1
Probe P₂: y = 2·3+1 = 7 ✓

📌➡️ Weg 3: Aus Punkt und Anstieg

m ist gegeben → in y = mx + n einsetzen

Den Punkt einsetzen → nach n auflösen

Beispiel: P(2|5), m = 3

y = 3x + n → 5 = 3·2 + n → 5 = 6 + n → n = −1
→ Gleichung: y = 3x − 1

💡 Probe immer machen! Den zweiten Punkt (oder andere bekannte Info) einsetzen und prüfen. So merkst du sofort ob du einen Fehler gemacht hast.

✏️ Übungsaufgaben

🔶 Aufgabe 1 – Aus zwei Punkten – leicht

⭐ Leicht

Bestimme die Funktionsgleichung. Führe immer eine Probe durch!

a) P₁(0|2) und P₂(2|6) b) P₁(0|−3) und P₂(1|1)

✅ Lösung:

a) m=(6−2)÷(2−0)=2; n=2 (da P₁ auf y-Achse!) → y=2x+2. Probe: 2·2+2=6 ✓

b) m=(1−(−3))÷(1−0)=4; n=−3 → y=4x−3. Probe: 4·1−3=1 ✓

🔶 Aufgabe 2 – Aus Punkt und Anstieg

⭐ Leicht

Bestimme die Funktionsgleichung:

a) P(3|7), m=2 b) P(−1|4), m=−3 c) P(0|5), m=½

✅ Lösung:

a) 7=2·3+n → n=1 → y=2x+1

b) 4=−3·(−1)+n → 4=3+n → n=1 → y=−3x+1

c) P auf y-Achse → n=5 direkt! → y=½x+5

🔶 Aufgabe 3 – Aus zwei Punkten – allgemein

⭐⭐ Mittel

Bestimme die Funktionsgleichung und prüfe:

a) A(2|7) und B(4|3) b) A(−1|−2) und B(2|7) c) A(3|0) und B(6|−3)

✅ Lösung:

a) m=(3−7)÷(4−2)=−2; 7=−2·2+n → n=11 → y=−2x+11

b) m=(7−(−2))÷(2−(−1))=9÷3=3; −2=3·(−1)+n → n=1 → y=3x+1

c) m=(−3−0)÷(6−3)=−1; 0=−1·3+n → n=3 → y=−x+3

🔶 Aufgabe 4 – Steckbriefe

⭐⭐ Mittel

Bestimme die Funktionsgleichung:

a) Anstieg m = 3, y-Achsenabschnitt n = −2

b) Anstieg m = −1, geht durch P(0|4)

c) Geht durch P₁(0|5) und P₂(2|9)

✅ Lösung:

a) m und n direkt ablesen → y = 3x − 2

b) P(0|4) liegt auf y-Achse → n = 4 direkt! → y = −x + 4

c) n = 5 (P₁ auf y-Achse). m = (9−5)÷(2−0) = 2 → y = 2x + 5

🔶 Aufgabe 5 – Schwer: Alle Wege kombiniert

⭐⭐⭐ Schwer

Eine Gerade geht durch A(1|5) und B(3|9).

a) Berechne den Anstieg m.

b) Bestimme die vollständige Funktionsgleichung.

c) Berechne f(6) und überprüfe mit der Probe ob P(0|3) auf der Geraden liegt.

✅ Lösung:

a) m = (9−5)÷(3−1) = 4÷2 = 2

b) 5 = 2·1+n → n = 3 → y = 2x + 3

c) f(6) = 2·6+3 = 15
Probe P(0|3): f(0)=3 ✓ → P liegt auf dem Graphen

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