🔍 Nullstelle & Eigenschaften

Nullstelle · Achsenschnittpunkte · Punktprobe · Monotonie

❓ Was lernst du hier?

Zu einem Funktionsgraph gibt es mehrere wichtige Eigenschaften: Nullstelle (wo schneidet er die x-Achse?), y-Achsenabschnitt (wo die y-Achse?), Punktprobe (liegt ein Punkt auf dem Graphen?) und Monotonie (steigt oder fällt er?).

🎯 Nullstelle berechnen

📌 Regel: An der x-Achse ist immer y = 0!

Setze y = 0 in die Gleichung ein und löse nach x auf.

Nullstelle x₀ = −n ÷ m → Punkt S_x(x₀ | 0)

Beispiel 1: y = 2x − 6

0 = 2x − 6 | +6
6 = 2x | ÷2
x = 3 → S_x(3 | 0)

Beispiel 2: f(x) = −3x + 9

0 = −3x + 9 | −9
−9 = −3x | ÷(−3)
x = 3 → S_x(3 | 0)

📍 y-Achsenabschnitt

📌 Regel: An der y-Achse ist immer x = 0!

Einfach n ablesen — der y-Achsenabschnitt ist immer der Punkt S_y(0 | n).

y = 2x − 6 → S_y(0 | −6)
f(x) = −3x + 9 → S_y(0 | 9)
y = 5x → S_y(0 | 0) ← Ursprung!

✅ Punktprobe: Liegt P(a|b) auf dem Graphen?

📌 Regel: x-Wert einsetzen — stimmt y überein?

Liegt P(4|2) auf y = 2x − 6?

y = 2·4 − 6 = 8 − 6 = 2 ✓
→ Ja, P liegt auf dem Graphen!

Liegt Q(2|5) auf y = 2x − 6?

y = 2·2 − 6 = 4 − 6 = −2 ≠ 5
→ Nein, Q liegt NICHT auf dem Graphen!

🔢 Fehlenden Punkt bestimmen

Gesucht: P(x | 8) auf y = 2x − 6

8 = 2x − 6 | +6
14 = 2x | ÷2
x = 7 → P(7 | 8)

Gesucht: P(x | 0) auf y = 2x − 6 ← das ist die Nullstelle!

0 = 2x − 6 → x = 3 → P(3 | 0)

📈 Monotonie und Definitionsbereich

Begriff	Bedeutung	Erkennungszeichen
Monoton steigend	Größeres x → größeres y	m > 0
Monoton fallend	Größeres x → kleineres y	m < 0
Definitionsbereich D	Alle erlaubten x-Werte	Meist alle rat. Zahlen
Wertebereich W	Alle entstehenden y-Werte	Meist alle rat. Zahlen

✏️ Übungsaufgaben

🔶 Aufgabe 1 – Nullstellen berechnen

⭐ Leicht

Berechne die Nullstellen rechnerisch. Schreibe auch den Schnittpunkt mit der x-Achse auf.

a) y = 4x − 8 b) f(x) = −2x + 10 c) y = 3x + 9 d) f(x) = 0,5x − 2

✅ Lösung:

a) 0=4x−8 → x=2 → S_x(2|0)

b) 0=−2x+10 → x=5 → S_x(5|0)

c) 0=3x+9 → 3x=−9 → x=−3 → S_x(−3|0)

d) 0=0,5x−2 → 0,5x=2 → x=4 → S_x(4|0)

🔶 Aufgabe 2 – Achsenschnittpunkte

⭐ Leicht

Bestimme S_x (Nullstelle) und S_y (y-Achsenabschnitt) für:

a) y = 2x − 4 b) f(x) = −x + 3 c) y = 5x

✅ Lösung:

a) S_x(2|0) · S_y(0|−4)

b) S_x(3|0) · S_y(0|3)

c) S_x(0|0) · S_y(0|0) — geht durch den Ursprung!

🔶 Aufgabe 3 – Punktprobe

⭐⭐ Mittel

Liegt der Punkt auf dem Graphen von f(x) = 3x − 5? Begründe.

a) P(2|1) b) Q(0|−5) c) R(−1|−8) d) S(3|4)

✅ Lösung:

a) f(2)=3·2−5=1 ✓ → Ja

b) f(0)=−5 ✓ → Ja (y-Achsenabschnitt!)

c) f(−1)=−3−5=−8 ✓ → Ja

d) f(3)=9−5=4 ✓ → Ja

💡 Alle vier Punkte liegen auf dem Graphen! Das ist kein Zufall — die Aufgabe war so gestellt.

🔶 Aufgabe 4 – Fehlenden Wert berechnen

⭐⭐ Mittel

Gegeben: f(x) = −2x + 8. Bestimme den fehlenden Wert:

a) P(3 | ?) b) Q(? | 4) c) R(? | 0) — was ist das?

✅ Lösung:

a) f(3)=−6+8=2 → P(3|2)

b) 4=−2x+8 → 2x=4 → x=2 → Q(2|4)

c) 0=−2x+8 → x=4 → das ist die Nullstelle! R(4|0)

🔶 Aufgabe 5 – Alles zusammen

⭐⭐⭐ Schwer

Gegeben: f(x) = −½x + 3
a) Berechne S_x und S_y
b) Liegt P(2|2) auf dem Graphen?
c) Für welches x gilt f(x) = 5?
d) Monotonie? Definitionsbereich?

✅ Lösung:

a) S_x: 0=−½x+3 → x=6 → S_x(6|0) S_y: (0|3)

b) f(2)=−1+3=2 ✓ → Ja

c) 5=−½x+3 → −½x=2 → x=−4 → P(−4|5)

d) m=−½<0 → monoton fallend · D = alle rationalen Zahlen

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